至今无解的五大悖论：看了这2个悖论以后有人头很痛

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作者 Cloudiiink

在这个撸猫成风的年代，薛定谔的猫也跟着成为了大概是猫史最有名的猫之一了。

虽然现在提起它，刷刷猫猫表情包的时候人们大概只是想要戏谑和玩笑，但是在科学史上，那个盒子里藏着光怪陆离的量子理论和量子的世界，人们对于薛定谔猫这个悖论的手足无措，恰好反映了当时人们对于微观和宏观，确定性和不确定性以怎样的方式相互作用并纠缠在一起而困惑。

在科学发展的漫漫长河之中，人们对于概念的困惑并不只有这一个，因此提出的悖论也层出不穷，比如飞矢不动，麦克斯韦妖，薛定谔的猫，双生子佯谬等。今天的我们来看看，关于悖论，除了薛定谔的猫以外，还有哪些神奇的东西。

亚里士多德圆轮悖论

Aristotle's Wheel Paradox

拉斐尔所绘雅典学院。图中正中间蓝衣即为亚里士多德。

在古希腊的时候，亚里士多德考虑了一件很好玩的事情。

我们搞两个直径不相同的圆轮，把它们的圆心重叠在一起，在地面上做无滑动的纯滚动时，可以看到，两个圆的底部各自都划过了一条直线。两个圆的周长显然并不相同，但是两个圆的底部却划过了相同的距离，这确实是一件令人头大的事情。

按照一一对应的关系，似乎圆的周长应该都相等。

当然，你如果觉得上述的滚动说法实在不是那么好理解的话，你也可以想象从两个圆的共同圆心处引出一条射线，依次与内圆和外圆相交。这意味着对于内圆上的任何一个点，我们都能找到外圆上的唯一的一个点与之对应。

从「朴素」的数学观点来看，就像聚沙成塔一样，如果两个沙堆里的沙子都是一一对应的话，那显然这两堆沙子应该一样大才对。然而内圆和外圆周长，真的不一样啊。

图片取自伽利略的对话录

无独有偶，伽利略也思考过这个问题。伽利略走的是无穷逼近的路子。如果我们考虑的不是两个同心的圆，而是两个同心的正六边形的时候。

在正六边形不断翻转的过程中，我们可以想象，下面的轨迹会被大的正六边形的边完全覆盖，但是上面的那条轨迹，会被跳着被小的正六边形的边接触。

如果我们考虑极限，那么亚里士多德圆轮悖论里面看似一样的两条轨迹，实际上下两条轨迹并不相同。假设我们有一个「足够大」的放大镜，我们可以看到在上面 CE 那条轨迹里面到处都充满了空洞。

上述的这些关于无穷的思考启发了康托尔发明了集合论，就像在论证偶数的个数等于整数的个数那样：将所有的偶数除以2，就等到了所有整数；把所有的整数乘以2，就得到了所有的偶数；每个整数都唯一对应了一个偶数。

亚里士多德的圆轮上的点的数量也确实是相等的。但是点的数量和周长之间并没有什么绝对的关系，而这样也正是让我们思考最为困惑的地方。因此，数学家们还发展了测度论，用来对长度、面积、体积进行严格数学定义。

罗素悖论

Russell's paradox

「我说的这句话是假话。」

估计很多人都玩过这个，让你判断这句话的真假：如果你说这句话是假话，那么就是肯定了句子的否定形式，即「我说的这句话其实是真话」；如果你说这句话是真话，那么就是肯定了这个句子，也就是「我说的这句话是假话」。

可以想象匹诺曹说出这句话时候的样子。实际上关于这句话到底是真是假学界内还有诸多争论的地方。

上面这个被称为说谎者悖论。与之形式类似的还有很多，比如理查德悖论，贝里悖论等。

这些命题表面上没有循环，但实际上在兜了一个圈子以后又转回了原点，作为总体的元素、分子和部分反过来直接指称总体，或者直接用这个总体来定义。

理发师悖论则是差点让数学大厦崩塌的罗素悖论的一部分。

理发师悖论和上面的说谎者悖论的结构相似。有一个理发师说他「只给不能给自己理发的人理发」，请问这句话有什么问题？

经过思考后你可以发现，无论他要不要给他自己理发，都会导致矛盾。

如果你说，就这么提出一个奇怪口号的理发师就能把数学颠覆了，确实不太对。这个悖论实际上告诉我们这样的理发师在现实生活中不能存在罢了。罗素悖论的核心在于颠覆了人们对于朴素的集合论的认知。

悖论就像一道裂缝，看起来让数学的大厦变得不完美，然而彻底撕开这个裂缝后，却又会显露出柳暗花明的景色，而数学的大厦又得到了升格。

看完今天的2个悖论，你的大脑升格了吗？还是像出现了裂缝一样头痛呢？

最后留一道题，你能解释一下，下面2张图的矛盾出在哪儿了吗？

左边 8x8 的正方形，看上去和右边 5x13 的长方形面积一样大，难道 64=65？

本文转载自公众号“中科院物理所”（ID：cas-iop）

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