0.83和0.830表达的区别：关于，0.999

“0.9999……”等不等于1，是一个令人感兴趣的话题。自从学了“极限”概念，几十年来一直没有把这个问题当作有争议的内容。一直认为，它不就是一个奔向极限值（1）的一个无休止运动，却总也到不了极限点的无限循环小数吗？直到有朋友告诉我，有外国数学家证明了“0.9999……=1”，当时也没在意，就像陈景润推导“陈式定理”，以为数学家用了什么高深的理论，经过大量严格的“引理，推论，证明”推导，才得出这个结论，而那些高深的理论是自己无力学习掌握的，也就不再当回事了。直到最近有文章介绍了一些证明，发现并无高深之处，才觉得这个话题是可以在自己知识范围之内讨论的，才试图了解一下这些数学家是怎么证明的。

特别说明，后面的截图来自“海文”。

第一个，最简单的证明

截图（一）

这种“想当然地认为”是小学教育的结果。然而在学了“极限”概念之后，知道了“无穷”就是没有止境的。如是，那些无限循环小数便只存在于一个开放的区间，被一个封闭点给限制在该区间（为了“形象”一点，借用“区间”一词，表示一个有按一定规律组成的无穷多元素的集合）内了。比如“0.9999……”可以是在一个如数列[0.9，0.99，……）区间内项数向∞运动中的数字。这个数列的通项是，A1={1一（0.1）^n}。它的右端点是不存在的，否则就是“有穷”令数列终止而不是有“无穷多项”的数列了，它只是向一个闭区间端点（1）运动即

[[0.9，0.99，0.999……），1]

这个闭区间包含了上面的数列A1，还有一个固定数字（1）构成了全新的数列。这个右端点（1）并不在原来数列之内，无法用通项公式直接求出结果的（极限问题另讨论）。它只是对A1数列给出了一个限制，是无限趋近而不可到达的一个值。

那么，从（1/3）=0.333……而得到等式左边（1/3）×3=1，而右边0.333……×3=0.999……

原式等号两边同时乘以 3，不是仍然相等吗？这种“等式两边同时乘以同一个数，结果仍然相等”具有普遍性的“规则”当然是正确的。而问题恰恰在原式本身。

在小学学除法时，没有“无限” ，“无穷”，“趋于”等这些“动态概念”，只能认为这种相等是正确的。但当有了“无限”“无穷”概念之后，就应该明白，无限循环小数是一个无休止运动着而无法固定在数轴上某一位置的数字，形成这个小数的分数，却是一个在数轴上确定的，不运动的数字。一个在数轴上没有固定点 ，一个有固定点，二者无法重合。相似的，作为无理数，用符号（如e）或数字带有运算符号（如√2）时，通常认为它是“固定数”。而经过运算得到的无限小数是无法给它在数轴上找到一个位置的，就是因为它的特征是“无限”而无法定位。这就说明，一个固定数字是无法与分子被分母除之后形成的一个动态数字相等的。换句话说，原式

（1/3）=0.333……的“=”仅有后者代替前者的作用。

用一个数做分母，一个与之互质（仅有公约数为1）的数做分子 ，就形成一个无限循环小数。例：（→，表示分数做除法之后得到一个循环小数）

（22/7）→3.142857……

（355/113）→ 3.141592920354…………

（103993/33102） → 3.141592653102……

以上三个分数都是圆周率π的近似值。前两个分别被称为“疏率（徽率）” ， “密率（祖率）〞，第三个是1962年春天，华罗庚先生在北京“首都剧场”给北京市中学生做“讲座”《从祖冲之的圆周率谈起》时介绍的，一个比祖率更接近于π的圆周率近似值。华先生说，在上述三个分数的每两个之间，再没有比前面一个更接近于π的分数。

就这些分数而言，它们做除法所得的小数部分，（22/7）是以六位数为一个“循环节”的，后面是它的重复。而（355/113），它的小数部分循环节是多少位？ （103993/33102）呢？

好吧，用无限循环小数去和一个分数相等，连一个循环节都无法写全，怎么办？

这样，就显岀用无限循环小数去代替一个分数的弊端了。这种弊端就出现在一个固定数被一个动态数代替的时候，你无法写岀这个动态数的小数部分的哪怕一个“循环节”，无法让它们之问的等号成立，无奈之下只好借助于“……”了。而这个“=”也仅仅表示“被代替”而失去了本身的“相等”的本义。